Parábolas para el movimiento

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Instituto matemático y grupo de fluidos

El Instituto Max-Planck de Matemáticas en las Ciencias de Leipzig tiene un carácter aplicado a los problemas que surgen en ciencias naturales, ingeniería y economía. Pertenece a la Sociedad Max-Planck, y junto con el de Bonn son los dos institutos dedicados a las matemáticas. García-Ferrero comparte interés con el grupo de fluidos de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Leipzig, donde estudiaron famosos matemáticos a lo largo de la historia. La investigadora leonesa trabaja en el grupo de Angkana Rüland, en uno de los institutos con más prestigio y actividades para los jóvenes matemáticos.

En la vitro

Las placas vitrocerámicas de las cocinas alcanzan la temperatura más alta en su centro. Sin embargo, es posible calentarlas de manera que los puntos máximos de calor se muevan siguiendo cualquier trayectoria escogida. Eso es lo que demostró García-Ferrero en su trabajo con Alberto Enciso y Daniel Peralta, el Icmat, en el artículo que publica Duke Mathematical Journal. En el que recogen cómo la energía puede transmitirse a través de un material y conservarse. Ellos probaron que puede describirse el movimiento de estos puntos de máxima temperatura si se eligen condiciones iniciales de la ecuación adecuadas.

Crear las condiciones necesarias para precedir la evolución de la temperatura o la difusión del calor, o para que un instrumento financiero como una opción tenga más valor, son algunas de las modelizaciones que pueden realizarse a través de las derivadas parciales parabólicas. Un tipo de ecuaciones en el que María Ángeles García-Ferrero investiga, y por cuyos avances, que sigue en los últimos meses desde el Instituto Max-Planck para Matemáticas en las Ciencias, en Leipzig, Alemania, acaba de ser premiada.

La investigadora leonesa, licienciada en Físicas por la Universidad de Valladolid y doctora en matemáticas por la Universidad Complutense, con una tesis realizada principalmente en el Instituto de Ciencias Matemáticas de Madrid, es una de las galardonadas en los Premios de Investigación Matemática Vicent Caselles, de BBVA. Premios que reconocen «la creatividad, la originalidad y el logro en los primeros años de profesión científica», y distinguen a los investigadores cuyo trabajo doctoral «es pionero e influyente en la investigación internacional en matemáticas, para servir de estímulo a los profesionales que desarrollan su labor de invetigación».

El trabajo de García-Ferrero se centra en el estudio de problemas geométricos en ecuaciones en derivadas parciales, y en el desarrollo de teoremas de aproximación global para darles respuesta. Cuya aplicación se centra sobre todo en el estudio de puntos calientes y superficies isotermas. Pero no únicamente.

«Si nos situamos en una habitación sin radiadores ni aire acondicionado podemos encontrar en cada momento puntos donde la temperatura es máxima. También otros donde al menos la temperatura es mayor que alrededor. Esta temperatura irá variando con el tiempo, e igualmente la localización de estos puntos podrá cambiar. Nosotros probamos que podemos prescribir el movimiento de estos puntos si elegimos adecuadamente la temperatura inicial y la de las paredes», señala la investigadora.

Que añade que estas soluciones matemáticas pueden aplicarse a campos bien distintos. Por ejemplo, el precio de las opciones en economía (los instrumentos financieros con los que el inversor compra o vende bienes o valores a un precio predeterminado hasta la fecha de vencimiento). «Fenómenos tan dispares como la evolución de la temperatura o la difusión del calor y el precio de las opciones europeas no lo son tanto desde el punto de vista matemático. Ambos, al igual que multitud de otros fenómenos que cambian con el tiempo, están descritos por un tipo de ecuaciones en derivadas parciales llamadas parabólicas».

En el ámbito de las matemáticas financieras la ecuación de Black-Scholes describe cómo evoluciona la opción según el valor de las acciones sobre las que opera. «Nuestro resultado muestra que si tenemos en mente valores de las acciones en el futuro, podríamos crear las condiciones necesarias para que la opción, y por tanto nuestra ganancia, sea mayor para esos valores de la acción que para valores próximos».

La investigación afirma la existencia de esas soluciones de ecuaciones parabólicas con determinadas propiedades, «sin embargo no aborda la construcción explícita de las mismas para casos concretos, lo cual habría de hacerse numéricamente», señala García-Ferrero.

La científica, que comenzó sus estudios en el colegio Nuestra Señora del Carmen en La Bañeza y en el instituto Lancia de la capital, desarrolla su actividad en áreas como las ecuaciones en derivadas parciales, mecánica de fluidos, problemas inversos, análisis geométrico y física matemática, después de doctorarse en Investigación Matemática con la tesis Teoremas de de aproximación global para ecuaciones en derivadas parciales y aplicaciones, por la que obtuvo sobresaliente cum laude con Mención Internacional y que fue dirigida por Alberto Enciso.

Ahora, además del reciente premio, acaba de ver seleccionado para su publicación en la prestigiosa revista Duke Mathematical Journal el trabajo sobre el movimento de puntos calientes locales, en el que ha colaborado con Enciso y con Daniel Peralta, ambos investigadores del Instituto de Ciencias Matemáticas de Madrid. Un trabajo en el que se modeliza el calor, uno de los problemas clásicos de la física «pero también uno de los grandes hitos de las matemáticas». Una ecuación establece cómo se transmite la energía a través de un material, y el equipo ha probado que «se puede describir el movimiento de estos puntos de máxima temperatura si se eligen las condiciones iniciales de la ecuación adecuadas, es decir, la distribución del calor en el momento de partida».

Desde el pasado mes de septiembre García-Ferrero investiga en el Instituto Max-Planck. Una institución que define como punto central de sus investigaciones «la interacción entre las matemáticas y las ciencias. Las preguntas fundamentales que surgen de las ciencias naturales y de ingeniería y la economía siempre han inspirado a los matemáticos», explican.

García-Ferrero ha publicado ya casi una decena de artículos e impartido numerosos seminarios, además de su experiencia docente en la Universidad Complutense en las clases de problemas Análisis en Variable Real. Además de su actividad como divulgadora de las matemáticas entre los estudiantes de secundaria, fue el año pasado Premio Nacional Fin de Carrera del Ministerio de Educación; y en 2014 Premio Extraordinario Fin de Carrera de la Universidad de Valladolid. En 2009 fue medalla de oro en las Olimpiadas Españolas de Física y Química, y medidalla de bronce en las Internacionales e Iberoamericanas de Química.

Una brillante trayectoria que ahora continúa como investigadora en el prestigioso instituto alemán, donde trabaja en las áreas de las ecuaciones en derivadas parciales, «las ecuaciones con las que se pueden describir el calor, los fluidos, el sonido, los terremotos o las nanoestructuras». Investiga también en la mecánica de fluidos (el movimiento de líquidos y gases), el análisis geométrico (en el que los métodos de la geometría se emplean para estudiar ecuaciones en derivadas parciales y viceversa) y la física matemática.

«El interés de estas cuestiones no es exclusivamente matemático, porque muchas de ellas surgen también del estudio de fenómenos físicos. Mi trabajo se centra en la construcción de soluciones a determinadas ecuaciones en derivadas parciales con ciertas características para dar respuesta a algunos de estos problemas, y el desarrollo de una herramienta clave para ello: los teoremas de aproximación global. El resultado más destacable señala que es posible prescribir el movimiento de los puntos donde una distribución de temperatura alcanza los máximos locales».